正文
第12节对称
对称在我们的观念中最容易想到的就是左右对称，我们的脸谱、双手、动物的头像、昆虫、城墙门建筑等等都是左右对称。怎样才能算是左右对称的呢？以蝴蝶图像为例，令中心线为界，把两边对折起来，如果图像完全重合，我们就认为是对称的。也就是说从中心线对两边以相同角度观察，结果完全一致。左右对称又称镜像对称，镜子就是中心线。一个圆，以圆心为旋转轴，无论旋转多少度，圆保持不变。我们称为旋转对称。我们观察这些不同形式对称中的共同点，那就是不变性。无论是旋转、镜像，某种结果如果不变，就是我们观察到的某种对称。因此我们定义对称，就是在某种操作后保持某种不变性。其名称就是操作对应的名称。也可以直接称呼对称为不变性，比如镜像不变性，旋转不变性。
平移对称，就是事物经过平移后，保持不变。比如城墙，每隔几十米，就重复。那么城墙平移几十米，依然保持不变（称为空间周期性）。如果是时间因素平移，则保持不变，称为时间平移对称。比如历史上中国每隔几百年就发生大规模战争，导致大屠杀，然后更朝换代。每周一都兴高采烈地（心情沮丧地？）去上学等等都是时间平移对称（称为时间周期性）。标度对称，就是事物经过放大或缩小，保持不变。似乎很神奇，但自然界很普遍。取一个向日葵，观察葵花籽组成的曲线，这个曲线名称为对数螺线，放大后发现和原始曲线没差别，仅仅旋转了一个角度。海螺、大气旋涡、星系都表现出标度不变性。
大家都感叹时光一去不复返，但时间是如何体现出来的？时光流逝，马齿徒增。人的容貌和体质都在变化。倘若无变化，无法体现时间的存在。宇宙中任何事物都在变化，所以时间得以存在。对某个分子，在宇宙中存在多年而没有变化，则对此分子而言，时间不存在。如果宇宙真是永恒，进入热寂。那么那时时间就不存在了。在我们的宇宙中，时间是单向的。那么时光倒流所发生的事情在我们看来就是不可能出现的事情。比如某人越活越年轻，最后进入襁褓状态。但是对于那些不发生变化的事物而言，时光倒流和正常流动是没有区别的。比如一个钟摆，一直摆动。时光倒流和正常流动，发现不了任何差别。也就是说，无论时间倒流还是时间正常流动，状态不变，就意味着时间不变性。系统熵的单调增加和时间的单向性是一个硬币的两面。而熵却是群体行为的结果。对于个体，比如电子，发生湮灭（和正电子相遇），或从能量中诞生（产生出一正一负，方向相反地离开），都是时间倒流和正常流动中无法区别的。那么描述这些个体的物理规律，就与时间无关。也就是说保持时间不变性。当物理规律描述的群体行为中个体因素消失时（个体因素是如何消失的？使用几率来描述时，个性消失，只剩下提取出来的群体属性。当热寂出现后，群体属性和个体属性类似。），时间因素就出现了，此时无法保持时间不变性了。考察某个物理规律对应的方程，如果让时间倒流（称为时间反演，即方程中时间符号变负tt），方程不变，则此规律保持时间反演对称性。
置换对称，在群体（系统）中互换两个对象，而群体不变，似乎是很陌生的样子。易经里面有太极，为世界的本源秩序，称太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。太极阴阳图，里面分黑白两色。当黑白色互换以后，发现阴阳图和原来的图差别只是旋转180度而已。我们把黑白色换成正义和邪恶。如果正义和邪恶势均力敌，把正义称为邪恶，邪恶称为正义，互换以后依然是势均力敌。正义战胜邪恶和邪恶战胜正义，仅仅置换一下概念即可实现两者转换，意味着两者在置换下等效。二元对立概念，只要可以相互转换，就可以实现置换变换（生与死，两者不能相互转换。那么相互转换意味着转换本身是时间不变性）。
阴阳图进行置换后，并不是原来的阴阳图，而是需要旋转180度。那么进行置换和旋转180度后，阴阳图保持不变，意味着在阴阳图是（置换旋转）对称。那么多种对称联合操作，就是对称的组合。
思考：
人性有多种表现形式，其中基因导致的生物特性占据多数，社会性动物的特性占少数。但是随着社会变迁，社会的习俗和规范，使得人群表现出不同的价值观念和评判标准。在不同的价值体型中，人的表现截然不同，仅仅是人性的不同方面得到发扬或抑制，而人性并没有发生变化。也就是说人性是时间不变，而人群的观念是时过境迁。以当下的价值标准评判以前的是非，除了荒唐可笑以外无以言表。太阳底下没有新鲜事，表明的是人性亘古不变，而不是人群价值观的永恒。
组成我们身体的这些原子，几十亿年前可能属于不同星系的恒星。对这些原子而言，几十亿年如弹指一瞬间。对于我们身体而言，几十年却是漫漫人生路。我们有生老病死，原子却只是在随机振动。
地球的大多数动物就存在某种对称（海洋深处生活着一些奇形怪状的动物）。我们日常最常见的就是镜像对称。不过同理想的对称不同，对称都存在小缺陷。比如我们就多数是右撇子，右臂肌肉要比左臂发达。心脏在左边，肝脏在右边。忽略小缺陷，动物就可能存在多种对称形式。比如金环蛇、蜈蚣就存在旋转对称、平移对称。水母存在镜像对称、旋转对称。普通鱼存在镜像对称、平移对称（鱼鳞）
万里长城可能是最长的平移对称人造对象了。在地图上表征长城的符号也是平移对称的。从它的功能上来看，也是平移对称：防御力平均，各处一致。
一年中有各种节日，比如生日、清明、重阳。这些都是时间平移不变。平移的时间段刚好是地球绕太阳一周（略有差异）。唐诗有云“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”、“人生代代无穷已，江月年年望相似”，消除个性后，群体表现出的时间平移不变性。
对称操作可以使事物表现出不同状态，当事物的变化较为复杂时，可使用对称操作来降低复杂度。在台球桌上，仅有一个球，击打此球，令其在桌面上运动，假设不存在任何阻力，可以无限运动下去，如何得知在某个时刻的位置和运动方向呢？台球要在台壁上反弹，导致位置和方向都在变化。而以反弹台球的台壁为镜像中心，对球桌进行镜像变换，则台球的轨迹变为直线。很容易计算出在某个时刻的位置和方向。如右图所示，镜像后球桌称为一系列的镜像扩展，而球的运动轨迹为直线，每和台壁相交一次，就意味着反弹一次。而横向或纵向镜像两次就意味着回到原始球桌。当球桌不是长方形，比如五边形时，是否可以这样来计算？
标度对称，本质是什么呢？以海螺为例，海螺摄入食物，除了自身消耗外，都转换为身体组织的一部分。摄入食物量和身体的体积成比例，也就是和身体的质量成比例（假设为a）。而身体消耗量也和身体重量成比例（假设是b），只是要小而已（ab）。那么食物转换为身体组织的量也和身体重量成比例（ab）！就意味着身体越大，食物转换为身体组织的量也越大，两者之间的比例为固定！标度不变性就是这个放大自身的比例不变！只要事物的变化量和自身总量成比例，总是体现出标度对称。通常以马太效应称呼。一个人自身的能力总是有限，假设以增大自身的数值来衡量，那么他的成就和他的初始值密切相关。牛顿说自己是站在巨人的肩膀上。当然牛顿的增加系数非常高，把我们换在那个位置，增加系数不为负值就不错了。皇帝制度下，开拓之君，增加系数大于0，守成之君，增加系数在0左右徘徊。亡、国之君，增加系数小于0一个人终生可以取得的成就，就依赖于社会及家庭赋予的初始位置（地下室、地面或巨人肩膀）（九品中正制，户籍）及先天天赋和后天培训（综合为增加系数）。
彼之美味，他人之毒药，说明人观念上的冲突。所有的观念是以自身利益为前提，在不同环境下体现的形式不同仅仅是外在包装。表现出人性的时间不变性。文明的冲突就体现了在不同群体的价
（本章未完，请翻页）值取向和分配模式，每个文明价值的受益者都力图扩大自身的文明的影响范围，以宗教、暴力等方式争夺文明受众。由于地球有限，文明扩张中的对抗和融合，表现出置换对称。最直接的方式就是成王败寇。
人和动物有无数区别，但超越生存需求的体验“美”无疑是其中之一（当然你说动物也有美的欣赏，只是我们无法共鸣而已。子非鱼，安知鱼之乐乎？子非吾，安知吾不知鱼之乐乎？这个就成为标度变换）。包括音乐、绘画、数学等等各个领域都能产生美的体验，而其中都能寻觅到对称的踪迹。音乐中一个声音的频率提高一倍，称为提高八度。将八度范围分为了十二等分，称为十二平均律。最早由明朱载堉精确给出，真是配得上黄钟大吕名称。音阶平分后，平移对称很容易满足。现在舞曲的背、景伴奏都是满足平移对称，用以指示舞步。而舞曲和舞步恰好是时间和空间平移对称的完美结合。建筑和绘画经常出现在一起，好的画家也是好的制图员（虽然达利的画与建筑图迥然不同），但制图员缺乏艺术创造力就只能绘图。面对史前人类山洞中的矿物颜料绘画，毕加索感叹“我们的艺术毫无进步”。无论是原始宗教抽象出的图腾，还是纯粹的装饰风格的图案，充斥着平移、镜像、旋转、置换以及它们组合的对称形式（人类的双足行走，满足这镜像和平移的结合；动物的四足行走，满足滑移和时间平移对称；植物生长，满足旋转对称和平移对称）。行万里路，观看沿途的风景，体现不同风格的正是对称方式和基础纹理不同的图案造成的心理影响。通常这些图案没有扭曲和缩放，但在绘画的透视中，远近和光线阴暗变化，造成图像的缩放扭曲。这些异常采用数学方式描述时，可以归结到规范变换在某个方向的投影。但无论向那个方向投影，规范变换本身不变。另外并不是对称就产生美。现代电脑都可以作曲写词，流行歌曲可以凑出来，短期内还到不了莫扎特、巴赫的境界。
对称意味着某种不变性，而事物在不变性的范围增减时，意味着对称发生某种变化。以圆为例，满足旋转对称，同时又满足镜像对称。但是满足镜像对称的，极少又能满足旋转对称。可说明旋转对称要求比镜像对称高。在圆中划一个十字，其中十字交点在圆心。那么圆依然满足旋转对称，但旋转角度以前是任意度数，现在只能是90度的整数倍。称这种现象为对称破缺。在旋转对称破缺后，依然保持镜像对称，但以前镜像对称轴有无数个，现在仅剩4个。
思考：
液体水中的水分子，任意互换两个分子，水不会产生任何变化。一滴水中，水分子满足多种对称形式。在过冷水中，因为没有任何其他杂质，虽然水应当结冰，但是对称的因素使得水依然保持液态。当过冷水遇到任何与水分子不同的分子时，此时水滴内的对称性产生破缺，水立刻以这个破缺点为中心开始凝结，变成冰。如果过冷水是从空中降落，则成为冰雹。类似状况，雪花的形成。当气温很低而空气中水汽充足，形成大量冰晶核。这些核相互接触，因冰中水分子形状和液体中不同，张角是1/3圆弧，所以形成各种六角形。因冰中水分子连接保持六角旋转对称，最终形成的雪花维持六角旋转对称。
在冷兵器战争年代，战争经常围绕着城墙进行。进攻一方采用各种手段破坏城墙，最易选择的地方就是城墙的薄弱位置。而这个薄弱位置正是城墙防御平移对称性的破缺点。
按照木桶理论，一个木桶能装水的容量取决于最短的木板。木桶本身是旋转对称，每个木板长度都应该是一致的。但出现了对称破缺，导致整体性能下降。类似的情况是产品的寿命，当产品到了寿命终点，每个器件都应当处于同样状态。当出现对称破缺，某个器件还可以坚持使用，就出现了资源浪费。
实际系统中出现的对称破缺可能是局部微小的扰动放大到全局。一个环状多米诺骨牌组，保持平移和旋转对称。某个骨牌倒下，导致骨牌全倒。倒下的骨牌正面向上，则所有骨牌都正面向上，反之亦然。以法国人bénard的名字命名的一种对流，也是对称破缺放大到全局的事例。在扁平器皿中放置薄层（相对器皿等尺寸非常小）水，在底部均匀加热。器皿底部水和上层水形成温差。因为加热均匀，整个器皿内水保持水平平移对称，在水的上下有均匀温差，热以传导的形式传递。当上下温差达到一定程度时，对流突然发生！从液体上空来看，出现六角形花纹，如同蜂窝。水的对流是从六角形中心上升，边缘下降。对流发生时，某点的扰动影响突然扩展到全部液体。和多米诺骨牌相同（有条件时，可尝试进行对流实验，体验导、火索的出现，事实上，大气中经常出现bénard对流）。
前面提到过惯性，惯性必然涉及外因的出现。宇宙中的事物总是相互联系的（马赫惯性系），对称的事物及其外因是绑定的。当考察某事物对称性变化时，外因的集合（外因的总体）是否满足对称，或外因与事物的关联方式是否满足对称，都会对事物的演变、对称破缺产生影响。而对影响结果的分析，可在不了解事物演变规律的情况下，进行粗略评估。
在上述阐述中，因导致果，是缺省说明的内在要求。称这种关系为因果关系。佛教里面跨越时空的因果关系不在讨论范围内。我们讨论的都是可以重复进行、反复验证的因果关系。
以马格努斯效应为例，如右图。球向左飞行，如果球不旋转，则球保持上下镜像对称，对称中心线就是穿过球心的左右水平线。而球保持旋转。则球的两侧相对空气的速度有差异，破坏了上下对称，即便不了解空气压力，也可知道球偏离原始的单纯向左运动。至于向上还是下偏移，则需要了解运动规则细节才能知道。旋转导致上下对称破缺，产生轨迹偏移。因对称破缺，果轨迹偏移，偏移方向位于对称破缺的方向上，即上下方向（而不是垂直纸平面方向）。
法国人居里（他的妻子就是居里夫人）提出对称性原理：原因中的对称性反映在结果中，结果中的对称性不少于原因中的对称性。（对应的逆否定理自己给出）
同样是球的飞行，现在方向变为从纸里向外垂直于纸面飞行，从球的正面观察，球保持旋转对称，对称轴是穿过球心的垂直于纸面的直线。现在球存在旋转，但旋转轴和球的旋转对称轴重合！那么球的旋转没有破坏球在前进方向上的旋转对称性，因此不会对球的飞行轨迹产生任何影响。火器发展到十九世纪，出现线膛枪，射出的子弹就带有旋转，旋转轴和子弹飞行轨迹重合。这种旋转对空气的干扰有很强的抵抗能力，准确度大大高于滑膛枪，现代的枪支都是线膛枪。
思考：
水是良好的溶剂，但是无法溶解油脂。因为水的分子结构对称性低，虽然整体不带电性，却使得分子的某个方向产生电负性，相反方向是电正性。而油脂的分子对称性高，整体和局部都不存在电性。水这样的分子称为极性分子，油脂类型的称为非极性分子。可以想象，水能溶解的物质，都存在和水分子一样的状况，要么是极性分子，要么可以分离为电正性、电负性两部分。而油脂类型的分子也可以做溶剂，比如汽油。可以溶解的分子也必然是对称性程度接近，都是极性分子。比如手上沾了油漆，需要用汽油清洗。酒精，既可溶解极性分子（水），也能和非极性分子混合（香精）。从分子的结构来看，局部是极性分子，局部是非极性分子。但对极性分子和非极性分子的溶解能力都低于极性溶剂和非极性溶剂。洗洁精，使用的溶剂就和酒精类似，同时存在极性部分和非极性部分，可以洗涤油脂，并溶解于水。
平行四边形，满足镜像对称（穿过对角线交点的直线都是对称中心线）、旋转对称（旋转180度）。当变形时，对称不产生破缺！依然保持平行四边形。那么意味着平行四边形可以任意变形。正三角形，满足镜像对称（3个对称中心线）、旋转对称（旋转120度），通常的三角形没有对称性。那么三角形发生形变时，对称性通常消失了。比较两种形状的对称性变化情况，可
（本章未完，请翻页）得到结论：三角形形变是破坏性的，而平行四边形形变则保持完整性。那么三角形形变的代价大于平行四边形（如果三角形和四边形都不存在对称性，无法使用对称性来分析）。立体结构中，正四面体的情况和平面中的正三角形类似。平行六面体和平面中的平行四边形类似。那么同样正四面体很难形变，而平行六面体很容易形变。自然界最硬的物质金刚石，就是正四面体结构，其他坚硬的物质（刚玉，通常形式，莫桑石），都存在三角形结构。滑石，就是平行六面体，硬度很低，不如指甲。
电磁波充斥着宇宙，电场和磁场相互耦合。直观看起来，电场和磁场的对称性类似。丹麦人奥斯特做了一个实验，如右图。在直导线上平行放置一个磁铁，两者位于纸面所在平面。当导线通电时，磁铁偏转，离开纸平面。整个实验系统是保持同一平面内，作用双方导线和磁铁是平行，按照对称性要求，合理的结果应该是磁铁平行靠近或远离导线（对称性保持最高），或者南北极一方靠近，另外一方远离（南北极的差异体现）。总之是保持同一平面。结果却破坏了对称性。这说明不对称性是出现在电场或（和，）磁场中（按照居里定理的逆否形式）。电荷有单独的正电荷或负电荷，而磁极却永远是南北极共存，无法分离。这正是双方对称性不相同的外在表现。
中国历史时间平移性维持了千年，同时保持了社会结构的对称。基本是上层建筑和底层民众，不同朝代的上层出现方式不同，汉：世家，晋、南朝：上品，北朝：门阀，隋：门阀（时间短是因为门阀反击杨广成功），唐：门阀军阀。宋：贵族消失，进入市民时代，中国进入顶峰时期，或许会改变时间平移性。但蒙古人入侵，中国灭亡。
迦太基是腓尼基人的移民国家。腓尼基公主避祸来到突尼斯湾，向当地人求借一张牛皮的土地栖身。获准后将牛皮剪成长条，圈里一大块地，修建了迦太基城。虽然采用了骗术，但对公主的承诺依然有效，如果是个王子的话，估计就是当地女首领同意的结果。问题是，牛皮长条的长度固定，所圈的土地是何种形状才能保证面积最大呢？我们采用对称的方法来解决。a从直觉来看，牛皮绳索同样长度对面积的贡献应该是相同的。这个意味着从土地内观察绳索，满足旋转对称。土地就是圆形。b从推理的角度，我们必须逐渐细化分析过程，获知土地形状。定义：1凸域，凸域边缘任意两点连一条直线，必然属于内部区域，不会和边缘有交点2边缘上某点和相距周长一半的另外一点的连线称为径。推理次序：b1土地的形状必然是凸的，为什么？b2径将土地分为两块，则两块的面积一定相等。b3如果径点所在地边缘是直线段，则此线段必然和径垂直。使用镜像对称证明。b4边缘不存在任何直线线段，边缘是弧形的。使用镜像对称证明。b5弧形边缘的切线必然和切点对应的径垂直，使用镜像对称证明。b6不存在某点是两段弧的交点，即此点存在两条切线，切线的夹角不等于180度。使用旋转180度对称证明。b7任意多个径的交点为同一点。使用镜像对称证明。b8径的交点平分径。使用镜像对称证明。b9径的长度都相等，使用镜像对称证明（*）b10满足以上条件的边缘就是圆，土地就是圆形。#（若不使用对称方法，则需要变分法来推理。）
按照上题的推理方式，证明固定面积所围的封闭空间体积最大的形状是球形。在球面上，两点距离最短的线是什么？（线必须在球面上，不能穿越内部空间）（定义其中一点为北极，按照地球情况来看，北极和任意一点之间最短的线是什么？）最长的线又是什么？如何使用对称原理来推理？国际航班路线，经常穿过若干个国家的领空，会发现穿过领空的国家在地图上似乎并不在航线起点和终点之间。
现实的空间边界难以精确界定，游戏中的空间通常都是精确的。以游戏人物的包裹为例，都是二维的离散格子组成的空间。装入的物品也是小型号的二维离散格子，那么在填充包裹时，如何才能包裹容纳效率最高？随便在包裹中乱放物品，剩余空间会变得非常破碎，导致虽有足够的剩余空间，但无法放置一个物品。剩余空间以何种指标指示，才能反映剩余空间的完整程度？如有可能，编程实现包裹自动安置物品，使得包裹可以最大程度地满置。
前面提到蜂巢，表现为正六边形，完整地布满整个平面。布满平面而没有缝隙的形状有正三角形，正方形和正六边形（事实上，正五边形和等腰三角形混合、正方形和正三角形混合、2种菱形混合都可以铺满平面不留缝隙）。当设定以最小的边长总和来划分某面积时，毫无疑问，最接近圆的形状满足条件，结论就是正六边形划分平面。所以蜜蜂的蜂巢就是这一结果，可以最节省建筑材料。
信息的对称问题。在变换中，如果初始的信息没有任何损失，全部存在于结果中，那么从结果可以反推初始信息。我们对世界的认识就是以这种信息的反推得到。如果变换中损失部分初始信息，那么从结果反推初始信息将有两种情况：1无法反推。2反推出多个初始信息。现代密码算法，避免破译的方法就是制造信息损失（损失的信息就是密码！）。通讯中的加密信号，还要和伪随机信号进行处理，得到近似随机信号，让信号进入彻底的热寂状态。加密过程的复杂程度和解密过程的复杂程度不对称（这些过程的通常名称叫算法），解密复杂程度更高，使得复原信息的代价大幅度增加，当代价大于信息的价值时，我们就认为加密是有效的。现实生活中说某人的城府深浅，也是信息隐藏的另类称呼。比如说胸有惊雷而面如平湖，隐藏对某信息的反应，以欺骗观察者。或假痴不癫，直接给出错误信息。我们的眼睛为什么是两只？我们观察的三维对象，进入我们的眼睛，投影在视网膜上。而视网膜是二维，因此必然出现信息丢失。而同一对象中两只眼睛的视网膜上的投影是有差别的，这种差别弥补了投影带来的信息损失，使得我们的大脑可以加工出对象的真实情况。刚才的分析可以得到什么结论呢？差别信息！这就是为什么彩色的世界比黑白的世界更丰富，原因就是差异更大。同等的差异程度，信息相同吗？狗咬人，人咬狗，差异程度类似，但是一个很常见，一个很罕见。则罕见的差异信息更多。波特兰罗素曾说过：参差多态乃幸福的本源。信息丰富，至少精神追求多样化。人失去个性，仅存共性，就成为卡夫卡所说的“没有面孔的人”，连环画中的士兵都是这样。
观察宇宙，由光谱和多普勒效应，我们得到宇宙正在膨胀！那么能否由观察不同距离的远离地球的速度，推导出宇宙的膨胀中心呢？二十世纪二十年代，美国天文学家沙普利建立了银河系模型，并根据观察来确定中心与直径。但站在地球上观察银河，只能看到天空中它的原始意义，因为太阳是位于银河系中。通常是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，但我们依然推导出银河整体的全部信息。从对称的角度来看，按照居里定理，纯粹的内部视角信息无法推理出以外部视角观察到信息。就像一个人不借助外部因素，无法把自己提起来一样。所以借助了银河系以外的观测信息进行补充。内部视角信息内部视角观察外部所得信息外部视角的信息。银河的中心、直径、恒星数量估计，这些信息是仅与自身相关，而运动方向及速度、旋转速度信息是从银河外视角观察的。当给出宇宙边界的界定方式、恒星的演变规律、宇宙的模型，那么仅与宇宙自身相关的信息就可以通过观测的数据进行反演。数据同时可以修正模型，这样反复进行，就在对宇宙而言尘埃一样存在的地球上，得到宇宙的景象！而宇宙是膨胀的宇宙具有起点宇宙居然可能不是永生的！
能量转换的对称问题。功转热，效率100，热转功，效率
（本章完）